J. Konstrukcje klasyczne (cyrkiel + linijka / GeoGebra)

📐 1. Konstrukcja trójkąta z danych – SSS, SAS, ASA

1. Narysuj odcinek \(AB = a\).
2. Zakreśl okrąg o środku \(A\) i promieniu \(b\).
3. Zakreśl okrąg o środku \(B\) i promieniu \(c\).
4. Punkt przecięcia okręgów to wierzchołek \(C\).

1. Narysuj odcinek \(AB = a\).
2. Przenieś kąt \(\gamma\) (konstrukcja kąta przystającego) przy wierzchołku \(A\).
3. Na ramieniu kąta odłóż \(AC = b\).
4. Połącz \(B\) i \(C\).

1. Narysuj odcinek \(AB = c\).
2. Przy wierzchołku \(A\) skonstruuj kąt \(\alpha\).
3. Przy wierzchołku \(B\) skonstruuj kąt \(\beta\).
4. Punkt przecięcia ramion to wierzchołek \(C\).

Po skonstruowaniu trójkąta możemy do niego dorysować okrąg wpisany (dwusieczne) i opisany (symetralne) – patrz punkty 2 i 3.

⭕ 2. Konstrukcja okręgu opisanego

Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta.

1. Skonstruuj symetralną boku \(AB\) (dwie przecinające się łuki z punktów \(A,B\) o tym samym promieniu, prosta przez punkty przecięcia).
2. Skonstruuj symetralną boku \(BC\) (lub \(AC\)).
3. Punkt przecięcia symetralnych to \(O\).
4. Narysuj okrąg o środku \(O\) i promieniu \(OA\) (lub \(OB, OC\)).

⚪ 3. Konstrukcja okręgu wpisanego

Środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych.

1. Skonstruuj dwusieczną kąta \(A\) (łuki z wierzchołka przecinające ramiona, a następnie dwa przecinające się łuki z punktów przecięcia).
2. Skonstruuj dwusieczną kąta \(B\) (lub \(C\)).
3. Punkt przecięcia dwusiecznych to \(I\).
4. Poprowadź prostopadłą z \(I\) do dowolnego boku – to promień \(r\).
5. Narysuj okrąg o środku \(I\) i promieniu \(r\).

🔴 4. Konstrukcja okręgu dopisanego

Okrąg dopisany do boku \(a\) (czyli boku \(BC\)) jest styczny do \(BC\) oraz przedłużeń \(AB\) i \(AC\). Jego środek \(I_a\) leży na przecięciu dwusiecznej kąta wewnętrznego \(A\) i dwusiecznych kątów zewnętrznych przy \(B\) i \(C\).

1. Skonstruuj dwusieczną kąta wewnętrznego \(\angle A\).
2. Skonstruuj dwusieczne kątów zewnętrznych przy \(B\) i \(C\) (kąty \(180^\circ-\beta\) i \(180^\circ-\gamma\)).
3. Punkt przecięcia tych trzech prostych to \(I_a\).
4. Poprowadź prostopadłą z \(I_a\) do boku \(BC\) – otrzymasz promień \(r_a\).
5. Narysuj okrąg o środku \(I_a\) i promieniu \(r_a\).

📏 5. Konstrukcje wysokości, środkowych, dwusiecznych, symetralnych

Z wierzchołka prowadzimy prostopadłą do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia). Konstrukcja prostopadłej przez punkt (poza prostą lub na prostej) jest klasyczna.

Łączymy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Środek boku znajdujemy jako przecięcie łuków z obu końców odcinka.

Opisana w punkcie 3 – łuki z wierzchołka przecinające ramiona, potem przecinające się łuki z tych przecięć.

Opisana w punkcie 2 – dwa przecinające się łuki z końców odcinka, prosta przez punkty przecięcia.

📐 6. Konstrukcja trójkąta prostokątnego z wykorzystaniem okręgu

Twierdzenie Talesa: kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Stąd konstrukcja trójkąta prostokątnego:

1. Narysuj odcinek \(AB\) – to będzie przeciwprostokątna.
2. Znajdź środek \(O\) odcinka \(AB\) (symetralna).
3. Narysuj okrąg o środku \(O\) i promieniu \(OA\).
4. Wybierz dowolny punkt \(C\) na okręgu (nie będący \(A\) ani \(B\)).
5. Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(C\).

🧩 7. Konstrukcje „z zadania” – przykład

Zadanie: Skonstruuj trójkąt \(ABC\), w którym bok \(AB\) jest średnicą okręgu opisanego, a dany jest punkt \(C\) na tym okręgu.

Rozwiązanie: To właściwie odwrócenie konstrukcji Talesa. Wystarczy wybrać dowolny punkt \(C\) na okręgu o średnicy \(AB\).

Inny przykład: „Skonstruuj trójkąt, w którym jedna wysokość dzieli przeciwprostokątną w stosunku 2:1” – to już wymaga obliczeń pomocniczych, ale samą konstrukcję wykonujemy za pomocą cyrkla i linijki (przenoszenie odcinków, podobieństwo).

📋 8. Podsumowanie – co można skonstruować?