H. Potęga punktu – wątki łączące trójkąt i okrąg

📦 1. Potęga punktu – definicja i intuicja

Niech dany będzie okrąg o środku \(O\) i promieniu \(R\) oraz punkt \(P\). Potęgą punktu \(P\) względem okręgu nazywamy liczbę:

      \[
      \operatorname{Pow}(P) = |OP|^2 - R^2
      \]
    

Jeśli \(P\) leży na okręgu, potęga wynosi \(0\). Gdy \(P\) jest wewnątrz okręgu – potęga jest ujemna, gdy na zewnątrz – dodatnia.

Interpretacja geometryczna:

Dla punktu wewnątrz okręgu: poprowadź dowolną cięciwę przez \(P\). Iloczyn długości odcinków tej cięciwy jest stały i równy \(- \operatorname{Pow}(P)\).
Dla punktu na zewnątrz: poprowadź sieczną przecinającą okrąg w \(A,B\) – wtedy \(PA \cdot PB = \operatorname{Pow}(P)\).
Jeśli poprowadzimy styczną \(PT\), to \(PT^2 = \operatorname{Pow}(P)\).

Aplet 1. Przeciągaj punkt P i obserwuj wartość \(OP^2-R^2\) oraz iloczyny odcinków.

⭐ Potęga punktu to taki geometryczny „dowód osobisty” punktu względem okręgu – nie zależy od wyboru cięciwy czy siecznej, jest niezmiennikiem.

✂️ 2. Cięciwy przecinające się

W okręgu dwie cięciwy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(P\). Wtedy:

      \[
      PA \cdot PB = PC \cdot PD
      \]
    

Dowód opiera się na podobieństwie trójkątów \(PAC\) i \(PBD\) (kąty wpisane oparte na tych samych łukach).

Przykład: \(PA = 3,\; PB = 6,\; PC = 2\). Wtedy \(PD = \frac{3\cdot6}{2} = 9\).

Aplet 2. Przeciągaj punkty – obserwuj równość iloczynów \(PA\cdot PB = PC\cdot PD\).

🧠 To twierdzenie było znane już w starożytności – wykorzystywał je Euklides w „Elementach”.

🔄 3. Sieczne z punktu zewnętrznego

Z punktu \(P\) leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono dwie sieczne: \(PAB\) i \(PCD\) (gdzie \(A,B\) oraz \(C,D\) to punkty przecięcia z okręgiem). Wtedy:

      \[
      PA \cdot PB = PC \cdot PD
      \]
    

Iloczyn odległości od \(P\) do obu punktów przecięcia jest stały dla wszystkich siecznych.

Przykład: \(PA = 2,\; PB = 8,\; PC = 4\). Wtedy \(PD = \frac{2\cdot8}{4} = 4\).

Aplet 3. Przeciągaj punkt P – iloczyn \(PA\cdot PB\) jest stały dla wszystkich siecznych.

📐 Twierdzenie o siecznych to uogólnienie twierdzenia o cięciwach – wystarczy „odwrócić” punkt na zewnątrz.

📏 4. Styczna i sieczna – oznaczenia zgodne z apletem

Z punktu G na zewnątrz okręgu poprowadzono styczną GD (punkt styczności D) oraz sieczną GBF (kolejność: G-B-F, gdzie B i F to punkty przecięcia z okręgiem). Zachodzi:

      \[
      DG^2 = BG \cdot FG
      \]
    

Jest to szczególny przypadek twierdzenia o siecznych – gdy jedna z siecznych staje się styczną (oba punkty przecięcia zbiegają się w D).

Przykład: \(DG = 6,\; BG = 4\). Wtedy \(FG = \frac{6^2}{4} = 9\).

Aplet 4. Przeciągaj punkt G (zewnętrzny) i punkt D (styczności) – sprawdź, że \(DG^2 = BG \cdot FG\).

✨ To twierdzenie jest kluczowe w zadaniach z okręgami wpisanymi i dopisanymi – pozwala wiązać długości odcinków stycznych z odcinkami na bokach trójkąta.

🧩 5. Zastosowania w zadaniach z trójkątami wpisanymi w okrąg

📘 Przykład 1: Wyznaczanie długości odcinka w trójkącie

W trójkącie \(ABC\) wpisanym w okrąg poprowadzono środkową \(AD\). Przedłużono ją do przecięcia z okręgiem w punkcie \(E\). Korzystając z twierdzenia o cięciwach, można udowodnić, że \(AD \cdot DE = BD \cdot DC\).

      \[
      AD \cdot DE = BD \cdot DC
      \]
    

📘 Przykład 2: Twierdzenie o dwusiecznej w okręgu

Dwusieczna kąta \(A\) w trójkącie wpisanym przecina okrąg w punkcie \(E\). Wtedy \(BE = EC\) (cecha charakterystyczna). Potęga punktu \(A\) względem okręgu daje:

      \[
      AB \cdot AC = AE \cdot (AE - 2BE) \quad \text{(po przekształceniach)}
      \]
    

W praktyce częściej wykorzystuje się klasyczne twierdzenie o dwusiecznej:

      \[
      \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
      \]
    

📘 Przykład 3: Okrąg wpisany i punkty styczności

W trójkącie \(ABC\) okrąg wpisany jest styczny do boków w \(D,E,F\). Przedłużono odcinki \(DE\) i \(DF\) do przecięcia z okręgiem opisanym. Wtedy zachodzą ciekawe równości, które można wyprowadzić, stosując potęgę punktu względem okręgu opisanego.

🏆 Potęga punktu jest często „niewidzialnym bohaterem” zadań olimpijskich – gdy widzisz cięciwy, sieczne lub styczne, pomyśl o potędze punktu!

📋 6. Podsumowanie – najważniejsze wzory

Twierdzenie	Wzór
Potęga punktu	\(\operatorname{Pow}(P) = OP^2 - R^2\)
Cięciwy przecinające się	\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)
Sieczne z punktu zewnętrznego	\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)
Styczna i sieczna	\(PT^2 = PA \cdot PB\) (w aplecie: \(DG^2 = BG \cdot FG\))

      \[
      PA \cdot PB = \operatorname{Pow}(P) \quad \text{(dla punktu zewnętrznego)}
      \]
    

💡 Wszystkie te wzory są w istocie tym samym – wyrażają stałość iloczynu odległości od punktu \(P\) do przecięć z okręgiem wzdłuż dowolnej prostej przechodzącej przez \(P\).