F. Okręgi dopisane do trójkąta

📌 1. Definicja okręgów dopisanych

Okrąg dopisany do trójkąta to okrąg styczny do jednego boku trójkąta oraz do przedłużeń dwóch pozostałych boków. Każdy trójkąt ma trzy okręgi dopisane:

okrąg dopisany do boku \(a\) (styczny do \(BC\) i przedłużeń \(AB\), \(AC\)) – środek \(I_a\), promień \(r_a\);
okrąg dopisany do boku \(b\) – środek \(I_b\), promień \(r_b\);
okrąg dopisany do boku \(c\) – środek \(I_c\), promień \(r_c\).

      Wszystkie trzy okręgi dopisane wraz z okręgiem wpisanym są styczne do okręgu dziewięciu punktów 
      (twierdzenie Feuerbacha).
    

⭐ Okręgi dopisane „otaczają” trójkąt z zewnątrz – każdy z nich leży po przeciwnej stronie danego boku niż wnętrze trójkąta.

🎯 2. Środki okręgów dopisanych

Środek okręgu dopisanego do boku \(a\) leży na przecięciu:

dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku \(A\),
dwusiecznych kątów zewnętrznych przy wierzchołkach \(B\) i \(C\).

Analogicznie dla pozostałych boków. Wszystkie trzy środki \(I_a, I_b, I_c\) leżą na dwusiecznych kątów wewnętrznych i zewnętrznych tworząc trójkąt \(I_a I_b I_c\), którego ortocentrum jest środkiem okręgu wpisanego \(I\).

      \[
      \angle I_a B C = \frac12 (180^\circ - \beta), \qquad
      \angle I_a C B = \frac12 (180^\circ - \gamma)
      \]
    

Dzięki temu środek \(I_a\) można łatwo skonstruować, prowadząc dwusieczne odpowiednich kątów.

Aplet 1. Przeciągaj wierzchołki i obserwuj środki okręgów dopisanych \(I_a, I_b, I_c\).

🛠️ 3. Konstrukcja okręgu dopisanego

Przykład – okrąg dopisany do boku \(a = BC\):

Narysuj dwusieczną kąta wewnętrznego \(\angle A\).
Narysuj dwusieczne kątów zewnętrznych przy \(B\) i \(C\) (kąty \(180^\circ-\beta\) i \(180^\circ-\gamma\)).
Punkt przecięcia tych trzech prostych to \(I_a\).
Poprowadź prostopadłą z \(I_a\) do boku \(BC\) (lub jego przedłużenia) – otrzymujesz promień \(r_a\).
Narysuj okrąg o środku \(I_a\) i promieniu \(r_a\).

Analogicznie konstruuje się okręgi dopisane do boków \(b\) i \(c\).

🧠 Konstrukcja jest bardzo podobna do konstrukcji okręgu wpisanego – z tą różnicą, że zamiast dwóch dwusiecznych wewnętrznych używasz jednej wewnętrznej i dwóch zewnętrznych.

🔄 4. Styczność do przedłużeń boków

Okrąg dopisany do boku \(a\) jest styczny do:

boku \(BC\) – w punkcie \(D_a\) leżącym na odcinku \(BC\),
przedłużenia boku \(AB\) poza wierzchołek \(B\) – w punkcie \(E_a\),
przedłużenia boku \(AC\) poza wierzchołek \(C\) – w punkcie \(F_a\).

Dla tego okręgu zachodzą równości odcinków stycznych podobne jak dla okręgu wpisanego:

      \[
      BD_a = BE_a, \quad CD_a = CF_a, \quad AE_a = AF_a
      \]
    

Co więcej, długości tych odcinków można wyrazić za pomocą półobwodu \(p\) i boków:

      \[
      AE_a = AF_a = p, \quad BD_a = BE_a = p - b, \quad CD_a = CF_a = p - c
      \]
    

(Uwaga: dla okręgu dopisanego do boku \(a\) punkt \(A\) leży między punktami styczności na przedłużeniach).

📐 5. Pole trójkąta a promienie okręgów dopisanych

Dla okręgu dopisanego do boku \(a\) obowiązuje wzór:

      \[
      P = r_a \cdot (p - a)
      \]
    

Analogicznie:

      \[
      P = r_b \cdot (p - b), \qquad P = r_c \cdot (p - c)
      \]
    

Wzory te są wierną kopią zależności \(P = p r\) dla okręgu wpisanego – wystarczy zastąpić \(p\) przez \(p-a\) itd. Są one niezwykle przydatne, gdy znamy boki i promień dopisany, a chcemy obliczyć pole lub odwrotnie.

Przykład: Trójkąt o bokach \(13,14,15\) ma \(p = 21\), \(P = 84\). Wtedy:

      \[
      r_a = \frac{P}{p-a} = \frac{84}{21-13} = \frac{84}{8} = 10{,}5, \quad
      r_b = \frac{84}{21-14} = 12, \quad
      r_c = \frac{84}{21-15} = 14.
      \]
    

📦 Istnieje również związek: \(\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}\).

⚙️ 6. Zadania – porównanie promieni okręgu wpisanego i dopisanych

📘 Zadanie 1: Dane boki, oblicz wszystkie promienie

      Treść: Boki trójkąta wynoszą \(a = 7, b = 8, c = 9\). Oblicz \(r, r_a, r_b, r_c\).

      Rozwiązanie: \(p = (7+8+9)/2 = 12\). Pole ze wzoru Herona: 
      \(P = \sqrt{12\cdot5\cdot4\cdot3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83\).

      \(r = P/p = \sqrt{5} \approx 2{,}236\).

      \(r_a = P/(p-a) = 12\sqrt{5}/5 = 2{,}4\sqrt{5} \approx 5{,}367\).

      \(r_b = P/(p-b) = 12\sqrt{5}/4 = 3\sqrt{5} \approx 6{,}708\).

      \(r_c = P/(p-c) = 12\sqrt{5}/3 = 4\sqrt{5} \approx 8{,}944\).

📘 Zadanie 2: Porównanie r i r_a w trójkącie prostokątnym

      Treść: W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(3,4\) znajdź \(r\) i \(r_a\) 
      (okrąg dopisany do przeciwprostokątnej).

      Rozwiązanie: \(c = 5, p = 6, P = 6\).

      \(r = P/p = 1\).

      \(r_a\) dotyczy boku \(a=3\)? Tu uwaga – który bok? Przyjmijmy, że \(a=3\) (przyprostokątna). 
      Wtedy \(r_a = P/(p-a) = 6/(6-3) = 2\). 
      Okrąg dopisany do przeciwprostokątnej (boku c) ma promień \(r_c = P/(p-c) = 6/(6-5)=6\). 
      Widzimy, że \(r_c\) jest znacznie większy od \(r\).
    

📘 Zadanie 3: Zależność między promieniami

      Treść: Udowodnij, że w dowolnym trójkącie \(r_a + r_b + r_c = 4R + r\).

      Wskazówka: To znane twierdzenie – możesz je wyprowadzić, korzystając ze wzorów 
      \(r_a = \frac{P}{p-a}\) i \(R = \frac{abc}{4P}\). Dla ambitnych.
    

🏆 Okręgi dopisane są doskonałym przykładem symetrii i elegancji geometrii trójkąta. Choć rzadziej używane w szkole, na olimpiadach pojawiają się bardzo często.

📋 7. Podsumowanie – najważniejsze wzory

Wielkość	Wzór / zależność
Półobwód	\(p = \frac{a+b+c}{2}\)
Promień okręgu wpisanego	\(r = \frac{P}{p}\)
Promienie okręgów dopisanych	\(r_a = \frac{P}{p-a},\; r_b = \frac{P}{p-b},\; r_c = \frac{P}{p-c}\)
Długości odcinków stycznych (dla \(I_a\))	\(AE_a = AF_a = p,\; BD_a = BE_a = p-b,\; CD_a = CF_a = p-c\)
Związek z okręgiem opisanym	\(r_a + r_b + r_c = 4R + r\)
Odwrotności promieni	\(\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}\)

      \[
      P = r_a(p-a) = r_b(p-b) = r_c(p-c)
      \]
    

💡 Gdy znasz \(p\) i boki, promienie dopisane obliczasz w jednej linijce – są one często prostsze do wyznaczenia niż promień okręgu opisanego.