E. Okrąg wpisany w trójkąt

📌 1. Definicja i konstrukcja okręgu wpisanego

Definicja

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta. Jego środek nazywamy incenter (I), a promień oznaczamy \(r\).

Konstrukcja środka

Środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Dwusieczna dzieli kąt na dwie równe części.

      Konstrukcja krok po kroku:

Skonstruuj dwusieczne dwóch kątów trójkąta (wystarczą dwie).

Oznacz punkt przecięcia jako \(I\).

Poprowadź prostopadłą z \(I\) do dowolnego boku – to promień \(r\).

Narysuj okrąg o środku \(I\) i promieniu \(r\).

Aplet 1. Punkt I (środek okręgu wpisanego) w aplecie oznaczony jest jako „D”. Przeciągaj wierzchołki – obserwuj, jak zmienia się okrąg wpisany.

⭐ Wszystkie dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie – to dowód na to, że w każdym trójkącie można wpisać okrąg.

🔄 2. Styczność – własności promienia i odcinków stycznych

Prostopadłość promienia do stycznej

W punkcie styczności promień okręgu jest prostopadły do boku trójkąta (stycznej).

\[ ID \perp BC, \quad IE \perp CA, \quad IF \perp AB \]

Równość odcinków stycznych z jednego wierzchołka

Oznaczmy punkty styczności okręgu wpisanego odpowiednio z bokami \(BC, CA, AB\) jako \(D, E, F\). Wtedy:

\[ AE = AF, \quad BD = BF, \quad CD = CE \]

Te trzy pary równości są kluczowe przy rozwiązywaniu zadań.

Aplet 2. Zaznaczone odcinki stycznych – przeciągaj wierzchołki i obserwuj, które pary są zawsze równe.

🧠 Te równości wynikają z przystawania trójkątów prostokątnych utworzonych przez środek okręgu, wierzchołek i punkty styczności.

📐 3. Związek pola z promieniem i półobwodem

\[ P = p \cdot r, \qquad \text{gdzie } p = \frac{a+b+c}{2} \]

To jeden z najczęściej używanych wzorów łączących okrąg wpisany z polem trójkąta.

Przykład: Trójkąt o bokach \(13,14,15\) ma \(p = 21\), pole \(P = 84\) (wzór Herona). Stąd promień okręgu wpisanego \(r = \frac{P}{p} = \frac{84}{21} = 4\).

Zastosowania

Wyznaczanie promienia, gdy znamy pole i obwód.
Wyznaczanie pola, gdy znamy promień i obwód.
Porównywanie promieni w trójkątach o tym samym obwodzie – większe pole oznacza większy \(r\).

📦 Wzór \(P = p r\) można wyprowadzić, dzieląc trójkąt na trzy mniejsze trójkąty o podstawach \(a,b,c\) i wysokości \(r\).

🧩 4. Boki jako sumy odcinków stycznych

Oznaczmy długości odcinków stycznych:

\[ x = AE = AF,\quad y = BF = BD,\quad z = CD = CE \]

Wtedy boki trójkąta wyrażają się prosto:

\[ a = BC = y + z,\quad b = CA = z + x,\quad c = AB = x + y \]

Półobwód: \( p = x + y + z \).

Przykład: Jeśli \(x = 3, y = 4, z = 5\), to \(a = 4+5=9,\; b = 5+3=8,\; c = 3+4=7\).

💡 W zadaniach często podaje się sumy długości stycznych lub różnice boków – to wystarczy do wyznaczenia \(x, y, z\).

⚙️ 5. Zadania – znajdź r, boki, pole

📘 Zadanie 1: Dany obwód i pole – znajdź r

      Treść: Trójkąt ma obwód 36 i pole 54. Oblicz promień okręgu wpisanego.

      Rozwiązanie: \(p = 36/2 = 18\), \(r = P/p = 54/18 = 3\).

📘 Zadanie 2: Dany promień i długości stycznych – znajdź boki i pole

      Treść: W trójkącie \(x = 4, y = 5, z = 6\), a promień okręgu wpisanego \(r = 3\). Oblicz boki i pole.

      Rozwiązanie:

      Boki: \(a = y+z = 11,\; b = z+x = 10,\; c = x+y = 9\).

      Półobwód: \(p = x+y+z = 15\).

      Pole: \(P = p \cdot r = 15 \cdot 3 = 45\).

📘 Zadanie 3: Dany obwód i stosunek boków – znajdź pole i r

      Treść: Boki trójkąta mają długości \(3k, 4k, 5k\), obwód = 24. Oblicz promień okręgu wpisanego.

      Rozwiązanie: \(3k+4k+5k = 12k = 24 \Rightarrow k=2\). Boki: 6,8,10 (trójkąt prostokątny).

      Pole: \(P = \frac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24\), \(p = 12\), \(r = P/p = 2\).

🧩 W trójkącie prostokątnym istnieje też wzór \(r = \frac{a+b-c}{2}\) – często przyspiesza obliczenia.

📋 6. Podsumowanie – najważniejsze wzory

Wielkość	Wzór / zależność
Pole	\(P = p r\)
Półobwód	\(p = \frac{a+b+c}{2} = x+y+z\)
Boki	\(a = y+z,\; b = z+x,\; c = x+y\)
Odcinki styczne	\(x = p-a,\; y = p-b,\; z = p-c\)
Promień (ogólnie)	\(r = \frac{P}{p}\)
Promień (prostokątny)	\(r = \frac{a+b-c}{2}\)

\[ r = \frac{P}{p}, \qquad x = p-a,\quad y = p-b,\quad z = p-c \]

🏆 Okrąg wpisany istnieje w każdym trójkącie – to jedna z podstawowych własności, która odróżnia trójkąty od innych wielokątów.