C. Pole i obwód – narzędzia do zadań z okręgami

📐 1. Podstawowe wzory na pole

Wzór 1 – wysokość i bok

\[ P = \frac{1}{2} a h_a \]

Przykład: Bok \(a = 8\), wysokość \(h_a = 5\) → \(P = \frac12 \cdot 8 \cdot 5 = 20\).

Wzór 2 – dwa boki i kąt między nimi

\[ P = \frac{1}{2} ab \sin\gamma \]

Przykład: \(a = 6\), \(b = 7\), \(\gamma = 30^\circ\) → \(\sin30^\circ = \frac12\), \(P = \frac12 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac12 = 10.5\).

⭐ Wzór z sinusem działa także dla kątów rozwartych (\(\sin(180^\circ-\gamma) = \sin\gamma\)). To czyni go uniwersalnym narzędziem, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi.

📏 2. Wzór Herona (pole z trzech boków)

Gdy znamy wszystkie trzy boki \(a,b,c\), a nie mamy wysokości ani kąta, ratunkiem jest wzór Herona:

      \[ p = \frac{a+b+c}{2} \]
      \[ P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
    

Przykład: Trójkąt o bokach \(5,6,7\). \(p = \frac{5+6+7}{2} = 9\).
\(P = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \approx 14.7\).

🧠 Wzór Herona jest szczególnie przydatny w zadaniach, gdzie boki są wyrażone przez zmienne (np. z niewiadomą \(x\)), a my chcemy wyrazić pole bez kątów.

⚪ 3. Pole a okrąg wpisany

W dowolnym trójkącie, który ma okrąg wpisany o promieniu \(r\), zachodzi:

\[ P = p \cdot r \quad \text{gdzie} \quad p = \frac{a+b+c}{2} \]

To jeden z najczęściej wykorzystywanych związków w zadaniach łączących pole z okręgiem wpisanym.

Przykład: Trójkąt o bokach \(13,14,15\) ma \(p = 21\), pole \(P = 84\) (z Herona).
Zatem promień okręgu wpisanego \(r = \frac{P}{p} = \frac{84}{21} = 4\).

Aplet 1. Punkt I (środek okręgu wpisanego) w aplecie oznaczony jest jako „D”. Przeciągaj wierzchołki – obserwuj, jak zmienia się pole i promień.

📌 W trójkącie prostokątnym promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem \(r = \frac{a+b-c}{2}\).

🌍 4. Pole a okrąg opisany

Dla trójkąta opisanego na okręgu (czyli mającego okrąg opisany o promieniu \(R\)) prawdziwy jest wzór:

\[ P = \frac{abc}{4R} \]

Jest to wniosek z twierdzenia sinusów: \( \frac{a}{\sin\alpha} = 2R \), stąd \(\sin\alpha = \frac{a}{2R}\), a po wstawieniu do \(P = \frac12 bc\sin\alpha\) otrzymujemy powyższy wzór.

Przykład: Trójkąt równoboczny o boku \(a = 6\) ma pole \(P = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\).
Promień okręgu opisanego \(R = \frac{a}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\). Sprawdzenie: \(\frac{abc}{4R} = \frac{6\cdot6\cdot6}{4\cdot2\sqrt{3}} = \frac{216}{8\sqrt{3}} = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}\). Zgadza się.

Aplet 2. Punkt O (środek okręgu opisanego) w aplecie oznaczony jest jako „Circumcenter”. Przeciągaj wierzchołki – obserwuj związek między bokami a promieniem.

🎯 Dla trójkąta prostokątnego \(R = \frac{c}{2}\), a wzór upraszcza się do \(P = \frac{ab}{2}\).

📐 5. Trójkąt prostokątny – wysokość, rzuty, okręgi

Twierdzenie Pitagorasa

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną

Pole można wyrazić na dwa sposoby: \(P = \frac12 ab\) oraz \(P = \frac12 c h_c\). Stąd:

\[ h_c = \frac{ab}{c} \]

Rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną

Oznaczmy: \(c = x + y\), gdzie \(x\) to rzut boku \(a\), \(y\) to rzut boku \(b\). Wtedy:

\[ x = \frac{a^2}{c}, \quad y = \frac{b^2}{c} \]

Dodatkowo wysokość \(h_c\) jest średnią geometryczną rzutów: \(h_c = \sqrt{xy}\).

Okrąg wpisany

\[ r = \frac{a+b-c}{2} \]

Okrąg opisany

\[ R = \frac{c}{2} \]

Przykład: Przyprostokątne \(a=3, b=4\). Wtedy \(c=5\), \(h_c = \frac{3\cdot4}{5}=2.4\), \(r = \frac{3+4-5}{2}=1\), \(R = 2.5\).

🧩 W trójkącie prostokątnym pole jest równe iloczynowi promieni okręgów wpisanego i opisanego? Sprawdź: \(1 \cdot 2.5 = 2.5\), a \(P = 6\) – nie działa. To częsty błąd!

🔄 6. Podobieństwo trójkątów – narzędzie do zadań z okręgami

Cechy podobieństwa

BBB – proporcjonalność wszystkich trzech boków.
BKB – proporcjonalność dwóch boków i równość kąta między nimi.
KKK – dwa kąty równe (trzeci sam się zgadza).

Skala podobieństwa

      \[ k = \frac{\text{długość boku w Δ₁}}{\text{długość odpowiadającego boku w Δ₂}} \]
    

Dla trójkątów podobnych \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\) zachodzi:

\[ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k \]

Zastosowanie: Jeśli znamy skalę \(k\), to każdy odpowiadający sobie bok w drugim trójkącie jest \(k\) razy większy (lub mniejszy). Dotyczy to także wysokości, środkowych, promieni okręgów wpisanych i opisanych.

Stosunek pól i obwodów

      \[ \frac{P_1}{P_2} = k^2, \qquad \frac{\text{obwód₁}}{\text{obwód₂}} = k \]
    

Przykład: Trójkąty podobne w skali \(k = \frac{3}{2}\). Jeśli pole mniejszego wynosi \(20\), to pole większego = \(20 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45\).

Twierdzenie Talesa – konfiguracja z równoległymi

Gdy prosta przecina dwa boki trójkąta i jest równoległa do trzeciego boku, odcina trójkąt podobny do wyjściowego.

\[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} = k \]

gdzie \(k\) to skala podobieństwa mniejszego trójkąta do oryginału.

Aplet 3. Przeciągaj punkty – obserwuj proporcje boków w trójkątach podobnych.

⚡ Podobieństwo to najpotężniejsze narzędzie w zadaniach z okręgami – pozwala łączyć odcinki stycznych, cięciw i promieni w proporcje.

🧩 7. Jak podobieństwo działa w okręgach?

Wspólne styczne do dwóch okręgów

Poprowadźmy wspólną styczną zewnętrzną do dwóch okręgów. Promienie \(r_1, r_2\) i odległość między środkami \(d\) tworzą trójkąt prostokątny lub podobny – w zależności od konfiguracji.

Cięciwy przecinające się w okręgu

Dla cięciw \(AB\) i \(CD\) przecinających się w punkcie \(P\) zachodzi:

\[ |PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PD| \]

To wynika z podobieństwa trójkątów \(PAC\) i \(PDB\) (kąty wpisane oparte na tych samych łukach).

Styczna i sieczna

Z punktu \(P\) poprowadzono styczną \(PT\) i sieczną \(PAB\). Wtedy:

\[ |PT|^2 = |PA| \cdot |PB| \]

To również wniosek z podobieństwa trójkątów \(PTA\) i \(PBT\).

🎯 W zadaniach maturalnych podobieństwo w kontekście okręgów pojawia się najczęściej przez twierdzenie o cięciwach lub o stycznej i siecznej. Opanuj te dwa narzędzia, a zyskasz przewagę!