📐 1. Wysokości i ortocentrum
Wysokość trójkąta to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia).
Wszystkie trzy wysokości (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie – ortocentrum (H).
Położenie ortocentrum:
• W trójkącie ostrokątnym – wewnątrz trójkąta.
• W trójkącie prostokątnym – w wierzchołku kąta prostego.
• W trójkącie rozwartokątnym – na zewnątrz trójkąta.
Aplet 1. Przeciągaj wierzchołki – obserwuj położenie ortocentrum H.
W aplecie punkt H oznaczony jest jako „H”.
⭐ Ortocentrum jest jednym z punktów tworzących tzw. linię Eulera (razem ze środkiem ciężkości i środkiem okręgu opisanego).
⚖️ 2. Środkowe i środek ciężkości
Środkowa to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Wszystkie trzy środkowe przecinają się w środku ciężkości (G) (zwanym też barycentrum).
📌 Podział 2:1
Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.
\( AG : GA' = 2 : 1 \)
Aplet 2. Punkt G (środek ciężkości) w aplecie oznaczony jest jako „Centroid”.
🧠 Środek ciężkości to fizyczny punkt równowagi trójkąta o jednolitej grubości.
⭕ 3. Symetralne i okrąg opisany
Symetralna boku to prosta prostopadła do boku przechodząca przez jego środek.
Trzy symetralne przecinają się w jednym punkcie – środku okręgu opisanego (O).
• Dla trójkąta ostrokątnego – O wewnątrz.
• Dla prostokątnego – O na środku przeciwprostokątnej.
• Dla rozwartokątnego – O na zewnątrz.
Aplet 3. Punkt O (środek okręgu opisanego) w aplecie oznaczony jest jako „Circumcenter”.
🔵 4. Dwusieczne i okrąg wpisany
Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca kąt na dwie równe części.
Dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych przecinają się w środku okręgu wpisanego (I).
Promień okręgu wpisanego: \( r = \frac{2P}{a+b+c} \), gdzie \(P\) to pole trójkąta.
Aplet 4. Punkt I (środek okręgu wpisanego) w aplecie oznaczony jest jako „D”.
🔴 5. Dwusieczne zewnętrzne i okręgi dopisane
Dwusieczna zewnętrzna dzieli na pół kąt zewnętrzny trójkąta (dopełnienie kąta wewnętrznego do 180°).
Dwusieczne dwóch kątów wewnętrznych i dwusieczna zewnętrzna trzeciego kąta przecinają się w jednym punkcie – środku okręgu dopisanego. Każdy trójkąt ma trzy okręgi dopisane, oznaczane \(I_a, I_b, I_c\). Każdy z nich jest styczny do jednego boku i przedłużeń dwóch pozostałych boków.
Promienie okręgów dopisanych:
• \( r_a = \frac{2P}{b+c-a} \) (okrąg dopisany do boku \(a\))
• \( r_b = \frac{2P}{a+c-b} \) (do boku \(b\))
• \( r_c = \frac{2P}{a+b-c} \) (do boku \(c\))
Własności:
- Środki \(I_a, I_b, I_c\) leżą na dwusiecznych kątów wewnętrznych i zewnętrznych.
- Odległości wierzchołków od punktów styczności okręgów dopisanych są równe odpowiednim różnicom długości boków.
- Trójkąt \(I_a I_b I_c\) (o wierzchołkach w środkach okręgów dopisanych) jest trójkątem ostrokątnym, a jego ortocentrum jest środkiem okręgu wpisanego \(I\) w trójkąt wyjściowy.
🧩 Okręgi dopisane są często wykorzystywane w zadaniach olimpijskich – pozwalają w elegancki sposób wyrazić długości odcinków i promienie.
📏 6. Prosta Eulera i okrąg dziewięciu punktów
Prosta Eulera – linia przechodząca przez ortocentrum (H), środek ciężkości (G) i środek okręgu opisanego (O). Punkty te są współliniowe, a G dzieli odcinek OH w stosunku \(OG : GH = 1 : 2\).
Okrąg dziewięciu punktów (okrąg Feuerbacha) – przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów: środki boków, spodki wysokości i środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum. Jego środek (N) leży w połowie odcinka OH, a promień to połowa promienia okręgu opisanego.
Aplet 6. Prosta Eulera oznaczona jest zieloną linią.
Punkty H, G, O są podpisane odpowiednio jako „Orthocenter”, „Centroid”, „Circumcenter”.
🎯 Twierdzenie Feuerbacha: okrąg dziewięciu punktów jest styczny do okręgu wpisanego i trzech okręgów dopisanych – jedno z najpiękniejszych twierdzeń geometrii trójkąta.
🔗 7. Relacje między środkami okręgów
Między środkami okręgu opisanego (O), wpisanego (I) oraz dopisanych (\(I_a, I_b, I_c\)) istnieją ciekawe zależności:
- \( OI^2 = R^2 - 2Rr \) (wzór Eulera).
- \( OI_a^2 = R^2 + 2Rr_a \) (analogicznie dla \(I_b, I_c\)).
- Punkt I jest ortocentrum trójkąta \(I_a I_b I_c\).
- Okrąg dziewięciu punktów jest styczny do okręgu wpisanego i okręgów dopisanych (Feuerbach).
📐 Dla trójkąta równobocznego wszystkie środki (O, G, H, I) pokrywają się.
📍 8. Punkty szczególne – podsumowanie
Aplet 7. Punkty G, H, O, I na jednym rysunku.
W aplecie oznaczono je jako: „Centroid” (G), „Orthocenter” (H), „Circumcenter” (O), „Incenter” (I).
| Symbol |
Nazwa |
Powstaje z przecięcia |
| \(G\) | środek ciężkości | środkowych |
| \(H\) | ortocentrum | wysokości |
| \(O\) | środek okręgu opisanego | symetralnych boków |
| \(I\) | środek okręgu wpisanego | dwusiecznych kątów |
| \(I_a, I_b, I_c\) | środki okręgów dopisanych | dwusiecznych zewnętrznych i wewnętrznych |
🧩 W trójkącie prostokątnym ortocentrum H leży w wierzchołku kąta prostego, a środek okręgu opisanego O – w środku przeciwprostokątnej.