Zadanie 1
Suma długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka jest równa 54 cm. Długość jednej z tych krawędzi jest dwa razy większa od drugiej. Jakie są długości krawędzi tego prostopadłościanu, który ma największą objętość?

Zadanie 2
Na gałęzi hiperboli o równaniu \( y = \frac{8}{x} \), gdzie \( x \in (0, +\infty) \), wyznacz taki punkt \( P \), którego odległość od punktu \( A(2, -2) \) jest najmniejsza.

Zadanie 3
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których tworząca ma długość 6. Wyznacz objętość tego stożka, którego przekrój osiowy ma największe pole.

Zadanie 4
Wśród walców wpisanych w kulę o promieniu 5 cm znajduje się taki, którego pole powierzchni bocznej jest największe. Oblicz objętość tego walca.

Zadanie 5
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Zadanie 6
Dany jest układ równań: \[ \begin{cases} mx - y = 2 \\ x + my = m \end{cases} \] Dla każdej wartości parametru \( m \) wyznacz parę liczb \( (x, y) \), która jest rozwiązaniem tego układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy \( x + y \) dla \( m \in (2, 4) \).

Zadanie 7
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej \( 2 \, m^3 \) istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa.

Zadanie 8
Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Zadanie 9
Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa 24. Wyznacz promień okręgu opisanego na podstawie tego z ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę objętość.

Zadanie 10
Rozważamy wszystkie prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku \( AB \), gdzie \( A = (-1, 4) \) i \( B = (1, 4) \), a pozostałe dwa na paraboli o równaniu \( y = 2x^2 + 2 \). Wyznacz wymiary tego z prostokątów, który ma największe pole. Oblicz to pole.