Średnie w matematyce
Średnia arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna, potęgowa i ważona
Definicje, przykłady oraz związki między średnimi
Średnia arytmetyczna
Średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) nazywamy liczbę:
\[
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}
\]
Przykład 1
Oblicz średnią arytmetyczną liczb \(3, 5, 7\).
Rozwiązanie:
\[
\bar{x}=\frac{3+5+7}{3}=5
\]
Przykład 2
Oblicz średnią temperaturę powietrza z czterech dni: \(-4.2^\circ\mathrm{C}, -9.7^\circ\mathrm{C}, -3.4^\circ\mathrm{C}, 2.5^\circ\mathrm{C}\).
Rozwiązanie:
\[
\bar{x}=\frac{-4.2-9.7-3.4+2.5}{4}=-3.7^\circ\mathrm{C}
\]
Średnia geometryczna
Średnią geometryczną liczb rzeczywistych dodatnich \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) nazywamy pierwiastek \(n\)-tego stopnia z ich iloczynu, tzn.
\[
\bar{x}_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n}
\]
Przykład 1
Oblicz średnią geometryczną liczb \(1, 2, 5\) i \(1000\).
Rozwiązanie:
\[
\bar{x}_g=\sqrt[4]{1\cdot2\cdot5\cdot1000}
=\sqrt[4]{10000}=10
\]
Przykład 2
Roczne procentowe przyrosty liczby studentów badanych w okresie 5 lat to odpowiednie wzrosty: \(2\%, 20\%, 5\%\) i \(50\%\). Jaki był średni przyrost w tym okresie?
Rozwiązanie:
\[
\bar{x}_g=\sqrt[4]{1.02\cdot1.20\cdot1.05\cdot1.50}\approx1.18
\]
\[
(1.18-1)\cdot100\%=18\%
\]
Zatem średni przyrost to około osiemnastoprocentowy wzrost.
Średnia harmoniczna
Średnią harmoniczną różnych od zera liczb rzeczywistych \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) nazywamy iloraz ilości elementów oraz sumy odwrotności tych elementów:
\[
\bar{x}_h=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}}
\]
Przykład 1
Oblicz średnią harmoniczną liczb \(5, 10, 15\).
Rozwiązanie:
\[
\bar{x}_h=\frac{3}{\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}}=\frac{90}{11}
\]
Przykład 2
Połowę pewnej drogi samochód jechał ze średnią prędkością \(60\ \mathrm{km/h}\), a drugą połowę ze średnią prędkością \(90\ \mathrm{km/h}\). Z jaką prędkością przejechał całą drogę?
Rozwiązanie:
Średnia potęgowa
Średnią potęgową rzędu \(k\) liczb rzeczywistych dodatnich \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) nazywamy liczbę:
\[
\bar{x}_p=\sqrt[k]{\frac{x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k}{n}}
\]
Przykład 1
Oblicz średnią potęgową rzędu \(III\) liczb \(3\sqrt[3]{3}\), \(4\sqrt[3]{3}\), \(5\sqrt[3]{3}\).
Rozwiązanie:
\[
\bar{x}_p=\sqrt[3]{\frac{(3\sqrt[3]{3})^3+(4\sqrt[3]{3})^3+(5\sqrt[3]{3})^3}{3}}=6
\]
Przykład 2
Stefan ma trzy kwadratowe działki ziemi o bokach \(110\ \mathrm{m}\), \(50\ \mathrm{m}\) i \(10\ \mathrm{m}\). Chce podzielić ziemię po równo między swoimi dziećmi: Zosią, Marysią i Tomkiem. Postanowił zamienić działki na trzy także kwadratowe, ale jednakowej wielkości. Jaki musi być bok tych działek?
Rozwiązanie:
\[
\bar{x}_p=\sqrt{\frac{110^2+50^2+10^2}{3}}
=\sqrt{\frac{12100+2500+100}{3}}
=\sqrt{\frac{14700}{3}}
\]
\[
=\sqrt{4900}=70
\]
Średnia ważona
Każdą z powyższych średnich można uogólnić przypisując danym pewne wagi (znaczenia). W szczególności średnia arytmetyczna ważona liczb rzeczywistych \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) o nieujemnych wagach \(w_1, w_2, \ldots, w_n\), przy czym co najmniej jedna waga jest różna od zera wygląda następująco:
\[
\bar{x}_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\ldots+w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}
\]
Przykład
Oblicz średnią ocen Jasia: prace klasowe (waga 4) oceny: \(3, 2, 1\)
sprawdziany (waga 3) oceny: \(4, 3, 5, 3\)
odpowiedź (waga 2) oceny: \(4\)
zadanie domowe (waga 1) oceny: \(1\)
zadanie dodatkowe (waga 1) oceny: \(6\)
sprawdziany (waga 3) oceny: \(4, 3, 5, 3\)
odpowiedź (waga 2) oceny: \(4\)
zadanie domowe (waga 1) oceny: \(1\)
zadanie dodatkowe (waga 1) oceny: \(6\)
Rozwiązanie:
\[
\bar{x}_w=
\frac{
3\cdot4+2\cdot4+1\cdot4+4\cdot3+3\cdot3+5\cdot3+3\cdot3+4\cdot2+1\cdot1+6\cdot1
}{
4+4+4+3+3+3+3+2+1+1
}
\]
\[
\bar{x}_w=3
\]
Związki między średnimi
Średnie są sobie równe, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ich elementy są równe.
Średnią potęgową dla \(k=1\) jest średnia arytmetyczna, zaś dla \(k=-1\) średnia harmoniczna.
Zachodzi następujący związek:
\[
\text{średnia arytmetyczna dwóch liczb jest nie mniejsza, niż ich średnia geometryczna,}
\]
\[
\text{a ta z kolei nie mniejsza, niż ich średnia harmoniczna.}
\]
Lekcja wideo
