Potęga o wykładniku wymiernym – poziom zaawansowany
Przypomnienie
Zadania z rozwiązaniami i video lekcja
-
Zad. 1. Zapisz wyrażenie w postaci potęgi o podstawie \(3\) i wykładniku wymiernym:
\[ \frac{ 9^{-0{,}25}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-0{,}75}:\sqrt[6]{27} }{ 3^{-\frac{2}{3}}\cdot 9^{-\frac{1}{3}}\cdot 81^{\frac{1}{6}} } \]
Rozwiązanie
\[ 9=3^{2},\quad 27=3^{3},\quad 81=3^{4},\quad -0{,}25=-\frac14,\quad -0{,}75=-\frac34. \]
\[ 9^{-\frac14}=(3^{2})^{-\frac14}=3^{-\frac12},\qquad \left(\frac13\right)^{-\frac34}=(3^{-1})^{-\frac34}=3^{\frac34}. \]
\[ \sqrt[6]{27}=27^{\frac16}=(3^{3})^{\frac16}=3^{\frac12}. \]
\[ \text{Licznik: } \;3^{-\frac12}\cdot 3^{\frac34} : 3^{\frac12} =3^{-\frac12+\frac34-\frac12}=3^{-\frac14}. \]
\[ \text{Mianownik: }\; 3^{-\frac23}\cdot 9^{-\frac13}\cdot 81^{\frac16} =3^{-\frac23}\cdot(3^{2})^{-\frac13}\cdot(3^{4})^{\frac16} =3^{-\frac23}\cdot 3^{-\frac23}\cdot 3^{\frac23}=3^{-\frac23}. \]
\[ \frac{3^{-\frac14}}{3^{-\frac23}}=3^{-\frac14+\frac23} =3^{-\frac{3}{12}+\frac{8}{12}}=3^{\frac{5}{12}}. \]
-
Zad. 2. Wykonaj działania:
\[ \left(2^{1{,}5}-6^{0{,}5}\right)^{2} \]
Rozwiązanie
\[ 2^{1{,}5}=2^{\frac32}=2\sqrt2,\qquad 6^{0{,}5}=\sqrt6=\sqrt2\sqrt3. \]
\[ (2\sqrt2-\sqrt2\sqrt3)^2=\left(\sqrt2(2-\sqrt3)\right)^2 =2(2-\sqrt3)^2. \]
\[ 2(2-\sqrt3)^2=2(4-4\sqrt3+3)=2(7-4\sqrt3)=14-8\sqrt3. \]
-
Zad. 3. Wykonaj działania:
\[ \left[\left(6-\sqrt{11}\right)^{\frac12}+\left(6+\sqrt{11}\right)^{\frac12}\right]^2 \]
Rozwiązanie
\[ a=\sqrt{6-\sqrt{11}},\quad b=\sqrt{6+\sqrt{11}}. \]
\[ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab =(6-\sqrt{11})+(6+\sqrt{11})+2\sqrt{(6-\sqrt{11})(6+\sqrt{11})}. \]
\[ (6-\sqrt{11})(6+\sqrt{11})=36-11=25\Rightarrow \sqrt{25}=5. \]
\[ (a+b)^2=12+2\cdot 5=22. \]
-
Zad. 4. Wykonaj działania:
\[ \left(343^{\frac13}-7\sqrt7\right)\cdot\left[\left(\frac17\right)^{-1}+7^{1{,}5}\right] \]
Rozwiązanie
\[ 343^{\frac13}=\sqrt[3]{343}=7,\qquad \left(\frac17\right)^{-1}=7,\qquad 7^{1{,}5}=7^{\frac32}=7\sqrt7. \]
\[ (343^{\frac13}-7\sqrt7)=7-7\sqrt7=7(1-\sqrt7), \] \[ \left[\left(\frac17\right)^{-1}+7^{1{,}5}\right]=7+7\sqrt7=7(1+\sqrt7). \]
\[ 7(1-\sqrt7)\cdot 7(1+\sqrt7)=49\left(1-(\sqrt7)^2\right)=49(1-7)=49\cdot(-6)=-294. \]
