Potęga o wykładniku wymiernym – wprowadzenie
Najważniejsze definicje i własności
Zadania z rozwiązaniami i video lekcja
-
\(\;2^{\frac{3}{5}}=\)
Rozwiązanie
\[ 2^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{2^{3}}=\sqrt[5]{8}. \]
-
\(\;2^{-\frac{3}{5}}=\)
Rozwiązanie
\[ 2^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{2^{\frac{3}{5}}} =\frac{1}{\sqrt[5]{2^{3}}} =\frac{1}{\sqrt[5]{8}}. \]
-
\(\left(\frac{81}{625}\right)^{-0{,}75}=\)
Rozwiązanie
\[ -0{,}75=-\frac{3}{4} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{81}{625}\right)^{-\frac{3}{4}} =\left(\frac{625}{81}\right)^{\frac{3}{4}}. \]
\[ 625=5^{4},\;81=3^{4} \Rightarrow \left(\frac{625}{81}\right)^{\frac{3}{4}} =\left(\frac{5^{4}}{3^{4}}\right)^{\frac{3}{4}} =\left(\frac{5}{3}\right)^{3} =\frac{125}{27}. \]
-
\[ \left[\left(\frac{16}{49}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot\left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot\left(\frac{4}{7}\right)^{-\frac{3}{5}}\right]^{\frac{1}{4}} = \]
Rozwiązanie
\[ \left(\frac{4}{7}\right)^{-\frac{3}{5}}=\left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{3}{5}} \Rightarrow \left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{2}{5}}\cdot\left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{3}{5}} =\left(\frac{7}{4}\right)^{1}=\frac{7}{4}. \]
\[ \left(\frac{16}{49}\right)^{-\frac{3}{2}} =\left(\frac{49}{16}\right)^{\frac{3}{2}} =\left(\left(\frac{7}{4}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}} =\left(\frac{7}{4}\right)^{3}. \]
\[ \Rightarrow\ \left[\left(\frac{7}{4}\right)^{3}\cdot\frac{7}{4}\right]^{\frac{1}{4}} =\left[\left(\frac{7}{4}\right)^{4}\right]^{\frac{1}{4}} =\frac{7}{4}. \]
-
\[ \frac{1}{2}\cdot 216^{\frac{2}{3}}+\left(5{,}27^{-3}\right)^{0} -81^{0{,}75}\cdot(0{,}5)^{-1} = \]
Rozwiązanie
\[ 216^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{216}\right)^2=6^2=36 \Rightarrow \frac{1}{2}\cdot 36=18. \]
\[ \left(5{,}27^{-3}\right)^{0}=1. \]
\[ 81^{0{,}75}=81^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=3^3=27, \qquad (0{,}5)^{-1}=2. \]
\[ 18+1-27\cdot 2=19-54=-35. \]
-
\(\sqrt{\,5\sqrt{5\sqrt{5}}\,}=\)
Rozwiązanie
\[ \sqrt{5}=5^{\frac12}. \]
\[ \sqrt{5\sqrt{5}} =\sqrt{5\cdot 5^{\frac12}} =\sqrt{5^{\frac32}} =5^{\frac34}. \]
\[ \sqrt{\,5\sqrt{5\sqrt{5}}\,} =\sqrt{\,5\cdot 5^{\frac34}\,} =\sqrt{5^{\frac74}} =5^{\frac78} =\sqrt[8]{5^{7}}. \]
-
\[ \frac{12\sqrt{32^{2}}-\left(-\frac12\right)^{-8}} {2^{\frac13}\cdot 4^{\frac13}+\left(6^{\frac12}\cdot 3^{-\frac12}\right)^{2}} = \]
Rozwiązanie
\[ \sqrt{32^{2}}=|32|=32 \Rightarrow 12\sqrt{32^{2}}=12\cdot 32=384. \]
\[ \left(-\frac12\right)^{-8}=(-2)^{8}=256 \Rightarrow \text{licznik } =384-256=128. \]
\[ 2^{\frac13}\cdot 4^{\frac13}=(2\cdot 4)^{\frac13}=8^{\frac13}=2. \]
\[ \left(6^{\frac12}\cdot 3^{-\frac12}\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt6}{\sqrt3}\right)^2 =\left(\sqrt2\right)^2=2. \]
\[ \text{mianownik }=2+2=4 \Rightarrow \frac{128}{4}=32. \]
