Pierwotne Trójki Pitagorejskie
Trójka pitagorejska (albo liczby pitagorejskie) ? trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c spełniające tzw. równanie Pitagorasa: a2 + b2 = c2
Ich nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność. W poniższej tabeli przedstawiono kilka pierwszych (względem krótszej przyprostokątnej) trójek pitagorejskich:
Jeżeli trójka (a, b, c) jest pitagorejska, to jest nią też (da, db, dc), dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej d. Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.
Jeśli m > n są liczbami naturalnymi, to
jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy, gdy m i n są względnie pierwsze i ich suma jest liczbą nieparzystą. Trójki pitagorejskiej (9, 12, 15), jak również wielu innych, w ten sposób nie otrzymamy, ale każda trójka pierwotna (być może po zamianie a i b) powstaje tą drogą z jedynej pary liczb względnie pierwszych m > n. Stąd wniosek, że istnieje nieskończenie wiele pierwotnych trójek pitagorejskich.
Trójkąt, którego długości boków stanowią trójkę pitagorejską, nazywany jest trójkątem pitagorejskim. Z kolei trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 nazywa się trójkątem egipskim
