GRANICA FUNKCJI
Granica funkcji jest jednym z podstawowych pojęć matematyki. Przez stwierdzenie, że "liczba \(g\) jest granicą funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) " rozumiemy, że wartość funkcji \(f\) "zbliża się" do \(g\), gdy \(x\) "zbliża się" do \(x_{0}\). Piszemy wówczas:
\[
\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=g \text { lub } f(x) \rightarrow g \text { przy } x \rightarrow x_{0}
\]
Definicja
Liczba \(g\) jest granicą funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\left(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=g\right)\), jeśli dla każdego ciągu \(\left(x_{n}\right)\) zbieżnego do \(x_{0}\), o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) i różnych od \(x_{0}\), ciąg \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest zbieżny do \(g\).
Twierdzenie
Jeżeli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=a, \displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=b\), gdzie \(a, b \in \mathbf{R}\), to:
1. \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}(c f(x))=c \cdot \displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=c \cdot a\), gdzie \(c \in \mathbf{R}\)
2. \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x)+g(x))=\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)+\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=a+b \quad\) (granica sumy funkcji)
3. \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x))=\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)-\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=a-b \quad\) (granica różnicy funkcji)
4. \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x) \cdot g(x))=\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot \displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=a \cdot b \quad\) (granica iloczynu funkcji)
5. \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)}{\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)}=\frac{a}{b}\), jeśli \(b \neq 0\) (granica ilorazu funkcji)
Twierdzenie
Granicą wielomianu \(W(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\) w punkcie \(x_{0} \in \mathbf{R}\) jest \(W\left(x_{0}\right)\).
Twierdzenie
Jeżeli \(f(x)=\frac{w(x)}{v(x)}\) jest funkcją wymierną, gdzie \(w, v\) są wielomianami, oraz \(v\left(x_{0}\right) \neq 0\), to:
\[
\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{w(x)}{v(x)}=\frac{w\left(x_{0}\right)}{v\left(x_{0}\right)}
\]
Jeśli \(x_{0}>0\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}\).
Ogólnie \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{x_{0}}\) dla:
\(x_{0}>0\), jeżeli \(n\) jest liczbą parzystą;
\(x_{0} \in \mathbf{R}\), jeżeli \(n\) jest liczbą nieparzystą.
Twierdzenie
Jeśli funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne i istnieje \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\), to:
\[
\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \sqrt{f(x)}=\sqrt{\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)}
\]
Twierdzenie
Dla dowolnego \(x_{0} \in \mathbf{R}: \displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \sin x=\sin x_{0} \quad\) oraz \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \cos x=\cos x_{0}\).
Twierdzenie
Jeżeli \(x_{0} \geqslant 0\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}\).
Ogólnie (dla \(n \in \mathbf{N}-\{0\})\) :
\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \sqrt[2 n]{x}=\sqrt[2 n]{x_{0}}\) dla \(x_{0} \geqslant 0\) oraz \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \sqrt[2 n+1]{x}=\sqrt[2 n+1]{x_{0}}\) dla \(x_{0} \in \mathbf{R} .\)
Jeżeli funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne i istnieje granica właściwa \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \sqrt{f(x)}=\sqrt{\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)}\).
Jeżeli \(x_{0} \in \mathbf{R}\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \sin x=\sin x_{0}\).
Jeżeli \(x_{0} \in \mathbf{R}\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \cos x=\cos x_{0}\).
Definicja
Niech \(f\) będzie funkcją określoną w przedziale \(\left(x_{0} ; b\right)\).
Liczba \(g\) jest granicą prawostronną funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\left(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=g\right.\) ), jeśli dla każdego ciągu \(\left(x_{n}\right)\) zbieżnego do \(x_{0}\), gdzie \(x_{n} \in\left(x_{0} ; b\right)\), ciąg \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest zbieżny do \(g\).
Twierdzenie
Granica \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)\) i \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)\) oraz zachodzi równość:
\[
\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)
\]
Definicja
Niech \(f\) będzie funkcją określoną \(\mathrm{w}\) sąsiedztwie punktu \(x_{0}\).
Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę niewłaściwą \(\infty\) \(\left(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty\right)\), jeśli dla każdego ciąuu \(\left(x_{n}\right)\) zbieżnego do \(x_{0}\), o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\) i różnych od \(x_{0}\), ciąg \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest rozbieżny do \(\infty\).
Definicja
Niech \(f\) będzie funkcją określoną w przedziale \(\left(x_{0} ; b\right)\). Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę niewłaściwą prawostronną \(\infty\left(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=\infty\right)\), jeśli dla każdego ciagu \(\left(x_{n}\right)\) zbieżnego do \(x_{0}\), gdzie \(x_{n} \in\left(x_{0} ; b\right)\), ciąg \(\left(f\left(x_{n}\right)\right)\) jest rozbieżny do \(\infty\).
Definicja
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której dziedziną \(D\) jest zbiór \(\mathbf{R}\) albo przedział liczbowy, albo suma przedziałów. Mówimy, że funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę prawostronną (lewostronną) równą \(g\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu argumentów \(\left(x_{n}\right)\) o wyrazach większych (mniejszych) od \(x_{0}\) i zbieżnego do \(x_{0}\) odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest zbieżny do liczby \(g\).
Zapisujemy to:
\[
\begin{array}{ll}
\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=g & \text { (granica prawostronna) } \\
\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=g & \text { (granica lewostronna) }
\end{array}
\]
Twierdzenie
Jeśli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0^{+}\)oraz \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=a>0\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g(x)}{f(x)}=\infty\).
Jeśli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0^{+}\)oraz \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=a<0\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g(x)}{f(x)}=-\infty\).
Jeśli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0^{-}\)oraz \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=a>0\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g(x)}{f(x)}=-\infty\).
Jeśli \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0^{-}\)oraz \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=a<0\), to \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g(x)}{f(x)}=\infty\).
Definicja
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której dziedziną jest zbiór \(\mathbf{R}\) albo przedział liczbowy, albo suma przedziałów. Mówimy, że funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę niewłaściwą nieskończoność (minus nieskończoność) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu argumentów \(\left(x_{n}\right)\) o wyrazach różnych od \(x_{0}\) i zbieżnego do \(x_{0}\) odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest rozbieżny do nieskończoności (minus nieskończoności).
Zapisujemy to:
\[
\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty, \quad \displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty
\]
Definicja
Dana jest funkcja \(y=f(x)\) określona na przedziale \((a ; b)\). Mówimy, że funkcja \(f\) ma w punkcie \(a\) granicę prawostronną niewłaściwą \(\infty(-\infty)\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu argumentów \(\left(x_{n}\right)\) o wyrazach należących do przedziału \((a ; b)\) i zbieżnego do \(a\) odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest rozbieżny do \(\infty(-\infty)\).
Zapisujemy to:
\[
\displaystyle\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\infty \quad\left(\displaystyle\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty\right)
\]
