Asymptoty - jak je wyznaczać?
ASYMPTOTY PIONOWE
Asymptoty pionowe - związane z punktami, które nie należą do dziedziny funkcji. Aby istniała asymptota pionowa w punkcie \(x_{0}\), granica funkcji w tym punkcie musi być niewłaściwa, czyli równa \(+\infty\) lub \(-\infty\).
Przykład
Wyznacz asymptoty pionowe (o ile istnieją) funkcji \(f(x)=\frac{2 x-6}{x^{2}-9}\).
Rozwiązanie
Określamy dziedzinę
\[
D: x \in R-\{-3,3\}
\]
Zatem asymptoty pionowe mogą być w punktach \(\{-3,3\}\). Obliczamy granice funkcji w tych punktach.
\[
\displaystyle\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x-6}{x^{2}-9}=\left[\frac{-12}{0}\right]=\left\{\begin{array}{l}
g_{L}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-3^{-}} \frac{2 x-6}{x^{2}-9}=\left[\frac{-12}{0^{+}}\right]=-\infty \\
g_{P}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-3^{+}} \frac{2 x-6}{x^{2}-9}=\left[\frac{-12}{0^{-}}\right]=+\infty
\end{array}\right.
\]
Zatem istnieje asymptota pionowa w punkcie \(-3\) i ma równanie \(x=-3\).
\[
\displaystyle\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2 x-6}{x^{2}-9}=\left[\frac{0}{0}\right]=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2}{(x+3)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
\]
Zatem w punkcie 3 nie istnieje asymptota pionowa.
ASYMPTOTY POZIOME
Asymptoty poziome \(-\) związane z granicą funkcji przy \(x\) dążącym do \(+\infty\) lub \(-\infty\). Jeśli ta granica jest skończona (oznaczmy ją \(g\) ), to \(y=g\) jest asymptotą poziomą.
Przykład
Wyznacz asymptoty poziome (o ile istnieją) funkcji \(f(x)=\frac{2 x^{2}-6 x}{x^{2}-9}\).
Rozwiązanie
\[
\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 x^{2}-6 x}{x^{2}-9}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2-\frac{6}{x}}{1-\frac{9}{x^{2}}}=2
\]
Zatem istnieje asymptota pozioma i ma równanie \(y=2\).
Uwaga: warto wiedzieć, że dla funkcji wymiernych asymptota pozioma istnieje wtedy, gdy stopień licznika jest mniejszy bądź równy stopniowi mianownika.
ASYMPTOTY UKOŚNE
Asymptoty ukośne - to funkcje liniowe postaci \(y=a x+b\), gdzie \(a=\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}\), zaś \(b=\displaystyle\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-a x]\)
Przykład
Wyznacz asymptoty ukośne (o ile istnieją) funkcji \(f(x)=\frac{2 x^{3}-6 x}{x^{2}-9}\).
Rozwiązanie
\[
\begin{aligned}
a &=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\frac{2 x^{3}-6 x}{x^{2}-9}}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 x^{3}-6 x}{x^{3}-9 x}=2 \\
b &=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-a x]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left[\frac{2 x^{3}-6 x}{x^{2}-9}-2 x\right]=\\
&=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left[\frac{2 x^{3}-6 x-2 x^{3}+18 x}{x^{2}-9}\right]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left[\frac{12 x}{x^{2}-9}\right]=0
\end{aligned}
\]
Zatem istnieje asymptota ukośna i ma równanie \(y=2 x\).
Uwaga: warto wiedzieć, że dla funkcji wymiernych asymptota ukośna istnieje wtedy, gdy stopień licznika jest o jeden większy od stopnia mianownika.
Więcej praktycznych porad możecie znaleźć w mojej książce:
